从日常活动中求证相对运动的原理，搭建相对时空观

爱因斯坦相对论已问世一百多年了，但至今，很多人依然不相信。就连某些前沿学者，也只是热衷于应用，并未做到内化于心。更有甚者，有学者幻想把相对论推翻。

为什么一个揭露事实真相的理论，不仅没有普及，还如此不受待见呢？原因主要在于，爱因斯坦本人并未把光速不变原理说得很深很透，所以，很多人不相信光速会不变。再者，作为相对论的核心基石洛伦兹变换，是爱因斯坦从电动力学领域拿过来的，在原著中没有从源头上做充分的论证推演。一些学者，包括我们的教科书，把一些设想，置入洛伦兹变换的推导过程，令人摸不着头脑。找不到洛伦兹变换背后的客观支撑，使用起来就不会心安，对爱因斯坦相对论也只是迷信而已，做不到真信。

本文采用了与一个中学生对话的文体形式，从高铁车厢里的人观察到沿路某地烟花燃放的时间、地点与车站的人所观察到的差异这个实际问题入手，通过演算的方法，一次次纠正错误，破除执念，厘清了这个事情的事实真相。然后，从一般数学手段入手，通过发现与使用四个边界条件，推演出处于高速运动的车厢的人所观察到的烟花燃放的地点、时间坐标与车站的人所观察到的地点、时间坐标的转换关系，发现与爱因斯坦使用的洛伦兹变换一致。通过洛伦兹变换与忽略光速不变的伽利略变换、伽利略变换的对比，找出尺缩、钟慢及速度叠加折减等超出日常认知范围的现象出现的根本原因。最后，进一步对顽固的执念予以排解。

一、问题的提出

我问：有某同学甲，在某高铁车站迎接高铁车厢的某同学乙，而因为误乘的原因，此高铁并未在该车站停留，而是以速度v公里每秒的速度驶过车站并保持该速度径直驶离。两人各带了一块秒表，约定高铁车厢中的同学乙所在的座位与车站的同学甲所站的位置重合的刹那开始计时，t秒钟时（以下简称“高铁过站t秒时”），高铁行进方向离车站甲所在的位置x公里的地方（以下简称“车站前方x公里处”），有人燃放一烟花，二人均观察到了烟花。请你分别给出观察者甲与观察者乙所看到的烟花事件发生地的方位与烟花事件发生的时间。

答：甲看到的烟花方位是车站前方x公里处，时间是高铁过站t秒。乙看到的烟花方位是高铁前进方向离自己的座位x—vt的地方，燃放的时间是高铁过站t秒。

我说：为了表述方便，我们把观察者乙所看到的烟花事件的方位用x'表达，数值所表示的是烟花事件的位置距观察者乙座位的距离，数值为正时表示烟花事件在高铁的前进方向，为负时表示烟花事件在座位的车站一侧。同时，我们把观察者乙看到的烟花事件的时间用t'表达，数值是烟花事件的光线传到观察者乙眼睛时观察者乙的秒表所显示的时间。注意，这个时间与观察者甲的秒表时间一般情况下不一致。这样，这个高铁过站t秒时发生在车站前方x公里处的烟花事件，观察者乙所观察到的发生地点与发生时间，即可以用（x'，t'）表达。注意：本文讨论的，均在高铁铁轨的长直线段。

我说：对这个烟花事件，请你就乙观察到的情况写出表达式。

中学生：这简单

x'＝x－vt

公式（A）

t'＝t

公式（B）

第一个执念：光的传播不花时间。我们之所以看到某个事件，比如烟花燃放，是因为事件的光传到了我们眼睛，这些光子刺激了我们的视网膜。但光子从事件到达我们眼睛是需要花时间的。通常认为光是匀速传播，速度约为30万公里每秒。这个速度，在物理学中，通常用字母“c”代表。因为光速太快，我们都忽略了它的存在，认为事件发生到我们看见不需要花时间，或者认为即使花时间，不管多远多近传到眼睛所花时间都是相同的。因为这些观念并不影响我们日常生活，于是在我们头脑中形成了执念，根深蒂固。但它不是世界的真相。而在高速运动的体系中，更不能忽略光传播消耗的时间，因为它有时会发挥决定性作用。

我说：给出的这个公式是不准确的。要做到准确，必须考虑光传播的时间。你这个忽略光传播消耗时间的公式，被爱因斯坦称为伽利略变换。

中学生给出了新的解答：

x′＝x－vt

t'＝t＋（x－vt）/c

第二个执念：有光总能看见。实际上烟花的燃放爆炸也就瞬间一闪而已。这一瞬间的光传到我们眼睛，我们才能看见。如果这一瞬间的光传到的地方我们已经离开，或传到的地方我们尚未到达，或者传到我们这里时我们因为眨眼等原因而错过，均看不到燃放烟花事件。本文排除眨眼错过的情况。

我说：这个答案不正确。为了更直观，我们就x'取负值的情况予以解析。看下图

在高铁过站t秒时，如果烟花事件在车站前方x公里处的M点发生，此时，乙坐的高铁车厢的座位（以下简称“车厢”）在A₀点，则有以下情况：

当烟花光线从事件发生地M，以光速c耗时t₀到达A₀时，车厢已从A₀到达A₁；

当烟花光线从A₀以光速c耗时t₁追到A₁时，车厢已从A₁到达A₂；

当烟花光线从A₁以光速c耗时t₂追到A₂时，车厢已从A₂到达A₃；

当烟花光线从A₂以光速c耗时t₃追到A₃时，车厢已从A₃到达A₄；

……

烟花光线就这样通过无穷多次的追赶，最后才到达车厢，这时观察者乙才能看到烟花事件发生。对乙来说，这一刻的时间就是t′，烟花事件的方位就是x'。所以，

x′＝一（MA₀＋A₀A₁＋A₁A₂＋A₂A₃＋A₃A₄＋……）

t′＝t＋t₀＋t₁＋t₂＋t₃＋t₄……

问：你弄的这个东西都不能算了吧？

我说：你把它写出来，找到规律，就算出来了。

中学生给出了这样的解答：

MA₀＝vt－x

A₀A₁＝MA₀v/c＝（vt－x）v/c

A₁A₂＝A₀A₁v/c＝（vt－x）（v/c）²

A₂A₃＝A₁A₂v/c＝（vt－x）（v/c）³

A₃A₄＝A₂A₃v/c＝（vt－x）（v/c）⁴

……

t₀＝MA₀/c＝（vt－x）/c

t₁＝A₀A₁/c＝（vt－x）/cv/c

t₂＝A₁A₂/c＝（vt－x）/c（v/c）²

t₃＝A₂A₃/c＝（vt－x）/c（v/c）³

……

x'＝－［（vt－x）＋（vt－x）v/c＋（vt－x）（v/c）²＋（vt－x）（v/c）³＋……]

＝－（vt－x）[1＋v/c＋（v/c）²＋（v/c）³＋……]

t'＝t＋（vt－x）/c＋（vt－x）/cv/c＋（vt－x）/c（v/c）²＋（vt－x）/c（v/c）³＋……

＝t＋（vt－x）/c[1＋v/c＋（v/c）²＋（v/c）³＋……]

以上两公式都涉及级数求和[1＋v/c＋（v/c）²＋（v/c）³＋……]，v是高铁车厢的运动速度，远小于光速c，故v/c是大于等于0而小于1的数。所以，（v/c）ⁿ的值，当n趋近于无穷大时趋近于0。故，这个级数和是一个正实数。令：

S＝1＋v/c＋（v/c）²＋（v/c）³＋……

等式变形得：

S＝1＋v/c[1＋v/c＋（v/c）²＋（v/c）³＋……]

＝1＋Sv/c

解得：

S＝1/（1—v/c）

将上式代入x'、t'则得：

我说：从这里你会明白：

为什么在观察者乙的视角，看到的燃放烟花事件，会与观察者甲在时间的计算上不一致？因为光不仅需要到达车厢在t时的位置，还需要追赶运动中的车厢，光传播需要额外消耗（注：当烟花事件位置在车厢的正向时，这个消耗为负值）时间；而对甲来说，光只需要到达甲所在的位置——车站就行了（注意时间t的概念是高铁离开车站的时间，不是甲看到烟花的时间，概念不能混淆）。

为什么在观察者乙的视角，看到的燃放烟花事件，会与观察者甲在距离的计算上不一致？因为光不仅需要到达车厢在t时的位置，还需要追赶（注：当烟花事件位置在车厢的正向时，这个追赶的路程为负值）上运动中的车厢，追赶上的那个位置，才是乙计算距离的起点；而对甲来说，计算距离的起点就是甲所在的位置——车站。

所以，要认清这个事情的真相，必须能换位思考。既能扮演车站观察者甲的角色，又能扮演车厢观察者乙的角色。

检查一下有没有什么问题。

回答：我检查过了，没有问题。

我说：我的意思是你用其他方法，再算一遍，检验一下结果是否正确。

中学生给出了这样的算法：

设烟花在M点燃放的光线经历时间T秒，在铁轨P点追上乙所在车箱，则有以下方程组成立：

MP＝cT

MP＝MA₀＋A₀P＝vt－x ＋vT

解得，

MP＝（vt－x）/（1－v/c），T＝（vt－x）/（1－v/c）/c。

所以，

x'＝（x－vt）/（1－v/c）

t'＝t＋T＝（t－x/c）/（1－v/c）

结果与公式（1）、公式（2）相同。

我说：既然计算没有问题，看看思路上有没有问题，跟实际情况是否相符。

回答：没有问题啊。在计算中坚持了光速不变原则，一律用c这个光速。真的找不到问题。

第三个执念，光速与运动有关。我们总是在不知不觉地把光与观察者的运动速度相关联。其实光速是不变的，永远是c，也就是约30万公里每秒。这个所谓的不变是指相对于观察者不变。不管光从哪里来，是发光光源的光还是反射光源的光，也不管观察者是什么运动状态，他接收到的光，相对于他自身的速度一律是c，约30万公里每秒。

我说：你想想，如果高铁车厢上装有一个靶子，某人在铁轨傍路基上顺着车箱前进的方向练习射箭。在射出的箭头速度相等的情况下，车厢上的靶子和设置在铁轨路基上的静止不动的靶子比较，哪个靶子箭头吃入的更深？

所以，要认清这个事情的真相，必须能把自己置于空中，俯视地面上的射箭活动：既能随高铁飞奔，又能比较两个靶子的吃箭深度。

答：当然是路基上的更深了。因为静止的靶子受到箭头的压力更大。

我说：路基上的靶子压力大的原因是因为箭头飞奔的速度全部消耗在靶子上了，而对于移动车厢上的靶子而言，箭头的速度未被完全消耗，所以压力小。也就是说，相对于跟车厢一同移动的靶子来说，箭头的速度变慢了。

中学生：这我能理解。

我接着说：如果这个箭头，制做非常精巧，可以忽略空气阻力和地球引力影响，也在第t秒从烟花燃放的地点以c速度射出。在计算射中靶子的位置距离射箭位置的里程时，适用于公式（1）；在计算射中靶子的时间时适用于公式（2）。

中学生：还是不理解，是不是说我们在推导公式（1）与公式（2）的过程中使用的光速不正确啊?

我说：是啊。问题隐藏很深，不易被发现。我们使用的光速是相对于铁轨车站和观察者甲的光速，而相对于运动着的观察者乙，在我们使用中起了变化。就象射向乙所在的车厢靶子的箭头因为靶子运动而变慢一样，我们把光子的传播速度也人为地变慢了。而实际情况是乙接收的烟花射来的光的速度仍然是c，约30万公里每秒。所以，公式（1）与公式（2）是不符合实际的。

中学生：那为什么光，相对于运动着的乙的速度，也必须是c呢？

我说：刚才说了，运动的车厢上的靶子比静止的靶子压力小，两者之所以有压力大小之分，缘于箭头有惯性。而光打在视网膜上的光压，静止的甲与移动的乙却没有差别，缘于光子没有惯性。所以，对靶子来说，箭头的飞奔速度跟靶子的运动速度有关；而对观察者乙来说，光子的飞奔速度（形象比喻，其实光子只传播不飞奔）跟观察者的运动速度无关。

一般而言，质量越大惯性越大，运动状态越不易改变，反之，质量越小惯性越小，运动状态越易改变。但是，当质量小到零时，就完全失去惯性了，光源或观察者的机械运动均改变不了它的速度，所以光速恒定不变。

中学生：费了半天劲，推导出来的公式（1）、公式（2）不符合实际，被一个光速不变给否定了。

我说：是啊，但我们的工作并没有白费，过程和结论都有一定价值。分析公式（1）、公式（2）不符合实际的原因是：我们把光子当成象箭头一样有质量有惯性的物对待了。但必竟考虑了光的传播时间，所以，它的计算结果应优于伽利略变换公式（A）、公式（B）的计算结果。为了表述方便，我们把考虑了光的传播时间而忽略光速不变的变换公式（1）、公式（2）姑且称为光物伽利略变换。

中学生：好的。既然，公式（1）、公式（2）也不符合实际，怎么做才能符合实际呢？或者对两公式做怎么样的改造才能符合实际呢？

我说：通过以上的演习，我们已经找出了问题出在了哪里，尤其是破除了三个执念，使我们离真相越来越近了。但是，如果我们试图通过调整c或者v的取值来实现光速不变，不仅易造成概念的混淆，还容易陷入不可解的谜局，所以，不如我们换一种思路：从我们对相对运动的规律一无所知开始，重构两个公式的形式。相信：只要这个规律存在，它一定会在一些特定的情形下露出蛛丝马迹，我们称之为边界条件。把这些边界条件用足用好，它的本来面目自然就呈现岀来了。

至于说两个公式如何改造，我猜测把这两个公式加上α、β两个系数就差不多了，即变成

x'＝α（x—vt）/（1—v/c ）

公式（3）

t'＝α（t—βx/c）/（1—v/c

公式（4）

这个样子。但α、β的数值必须求得。当然了，科学不是假设，所以，我们必须脚踏实地，紧密与实际相结合，绝不勉强，绝不牵强，坚信只要这个规律存在，就一定能找到规律存在的客观支撑，从而洞悉其背后的逻辑。

问：你打算怎么做呢？

答：我们用一般性的数学方法，提出x'、t'的轮廓，然后，从实际出发，仔细观察，找出边界条件，并利用边界条件，确定其中的参数取值。注意认真细致，一丝不苟，必须做到：使用的每一个依据，都经得起实践检验；推导的每一个步骤都受得住逻辑考问。如果提出的变换公式，跟爱因斯坦给出的一致，相对时空观在我们头脑中就已经建立起来了。如果不一致，说明相对论为谬，从此再不相信爱因斯坦。

二、从运动的车厢中观察到地面事件发生的位置时间坐标

与地面上位置时间坐标的转换关系

问：在这个看烟花的例子中，高铁车厢中的观察者乙，所观察到的燃放烟花事件的发生位置x'，应该跟什么有关呢？

答：跟烟花事件发生地点离开车站的距离x、烟花事件发生时间t(注意：本文t与t'的计时一律是从高铁过站开始，t是甲的秒表的时间，t'是乙的秒表的时间）、车厢的速度v以及光速c均有关。当然跟t'也有关。

我说：观察者乙看到的烟花事件发生时间t'的数值，是可以由x、t、v、c确定的，所以，它的作用已含在x、t、v、c之中了，t'是因变量而不是自变量。

中学生：这个我明白。

我说：也就是说x'是x、t、v、c的函数。但光速c是常数，在这个例子中，速度v也是个固定的值，所以，这里x'只是x、t的函数。其数学表达为：

x'＝f（x，t）

公式（C)

根据一般性的数学规则，线性关系的形式是：

x'＝ax＋bt＋d

其中：a、b为系数，d为常数。

中学生：这我明白。我们的任务就是把a、b、d三个数值确定下来。

我说：对。但要确定这三个数的取值，理论上至少有三组（x'，x，t）数值做支撑才能有结果。这三组数值，或者能为取得数值提供帮助的数值关系，就是我们要找的边界条件。

边界条件之一：高铁通过车站的当下，燃放烟花的事件发生。

我说：设想在高铁通过车站的当下，烟花在车站燃放，三个变量的取值是什么呢？

答：x'＝0

x＝0

t＝0

我明白了，把这几个数代入上面的公式求得：

d＝0

我说：完全正确，这样上面公式就减化成：

x'＝ax＋bt

你想一想还有别的什么边界条件吗？

边界条件之二：烟花事件发生在与高铁车厢并行的汽车上。

中学生：假如高铁轨道旁边是平行的公路，有人开着汽车，与乙所在的车厢并行同步，也以速度v前行，在离开车站x、高铁过站t秒时的汽车上，燃放一烟花。此时有：

x'＝0

x＝∨t

代入上面公式得：

b/a＝—v

我说：你太厉害了，又找到了一个关系。代回去公式变成啥了？

答：

x'＝a（x—vt）

公式（5）

我说：太好了。

其实，这个世界没有静止的绝对存在。乙相对于高铁车厢静止，却跟着车厢、高铁列车以速度v做匀速直线运动；甲相对于车站、铁轨静止，但却随着大地绕地球自转并绕太阳运动……。所以，如果我们把自己再升高，置于地球之外，站在宇宙的视角看，甲与乙、高铁列车与铁轨，地位平等没有差别，也没有主次之分。故而在高铁车厢适用的物理规律，在地面上也适用。这便是相对性原理。

中学生：按照这个原理，根据公式（C)下式应该成立

x＝f（x'，t'）

我们把公式(5)调过来，即有：

x=a(x'-vt')

成立。

我说：不对。注意这个事实。对这个烟花事件，对甲来说，发生的地点、时间只要用（x, t)一组数据即可完全表达；对乙来说，这个事件发生的地点、时间只要用（x', t')一组数据即可完全表达。t与t'都是甲、乙自己秒表上的数据，x与x'都是分别是甲与乙到事件发生地的真实距离，这个距离也可以用工具测出。但这里边有个微小的差别：甲秒表上的数据t，是烟花事件发生时的数据，不是甲自己看到烟花事件的时间；而乙秒表上的数据t'，是乙自己看到烟花事件的时间，不是烟花事件发生时的数据。两个数据不对称，所以，以上套用是不正确的。

中学生：那怎样才正确呢？

我说：乙及其车厢以速度v离开甲及其车站这个事实，就等同于把乙及其车厢看作静止，甲及其车站反方向离开乙及其车厢。但是，这个烟花事件相对于甲是静止的，相对于乙是运动的。

中学生：就是制造一个事件，让它相对于乙静止，而相对于甲运动。

我说：是的。

中学生：那就成了这样一个问题。假如在高铁过站的刹那开始，一辆汽车在与高铁铁轨并行的公路上与高铁同速同向前进，始终保持在乙所在的车厢前方x'公里处，t'时，汽车上燃放烟花事件发生。此时，t'是事件发生时乙的秒表读数（注：不是乙看到烟花事件的秒表读数），x'可以由公路上的里程碑算出。现在求算这个汽车烟花事件发生地点离甲所在车站的距离x。

乙、车厢、高铁列车、汽车、烟花事件均相对静止，如果看成是个静态系统，那么，甲、车站、铁轨、公路，即以速度v反方向离开乙、车厢、高铁列车、汽车、烟花事件这个静态系统。这样， 公式（C)与公式（5）就都适用了。

我说：是这样的。

中学生：我们的车速v，是跟x'、x同向的，现在，既然运动速度反向了，我们把v变成-v代入公式（5）不就行了吗？

我说：这样做结果是正确的。这种办法用于假设、试算是可以的，但如果认为就是因果结论，逻辑上不严密。本章起初，我们是在设定速度v不变的情况下开始的，公式（5）尚有未确定数值的a, 而我们到现在还不知道a跟速度v有无关系，是什么样的关系，有多大程度的依赖，所以，如果冒然改变v的取值，有可能引起a的数值变化。因此，必须另想办法。

中学生：想什么办法呢？

我说：我们再从头说起吧。把公式（C)的坐标图画出来如下

为了不引起取值混淆，我们对公式（C)进一步公式化，即：C=f( A, B)，在上图中：A=x，B=t，C =x'。我们可以这样简单的表述：在运动的乙离开静止的甲B秒时，前方离甲A公里的地方发生烟花事件，事件在乙的前方C公里处。

边界条件之三：相对性原理。这个原理，我们可以了解一下它的原始表述。爱因斯坦是这样说的：如果S'坐标系相对于S坐标系做匀速直线运动，那么在没有坐标旋转的情况下，自然现象相对于S'的实际演变遵循的基本规律，与其相对于S所遵循的基本规律是完全相同的。它这里的S'坐标系是指动态坐标系， S 坐标系是静态坐标系。

把你制造的汽车烟花事件的坐标图画出来如下

比照图IV，如果公式（C)在汽车烟花事件中继续适用, 必须将 x'与x轴的方向都调到与运动方向一致。数轴方向的调整，不改变汽车烟花事件的位置。所以，数轴调整后，原来的 x'、x变成了 -x'、-x。这样，图V可表述为：在运动的甲离开静止的乙 t'秒时，前方离乙 -x'公里的地方发生汽车烟花事件，事件在甲的前方 -x公里处。对公式C=f( A, B)来说，A= -x'，B=t'，C = -x。故：－x＝f（－x'，t'）成立，即是

x＝－f（－x' ，t'）

公式（D）

将公式（5）赋予公式（D）得：×＝－a（－x'－vt'），即：

x＝a（x'＋vt'）

公式（6）

将公式（5）、公式（6）相乘得：

xx'＝a²（xx'＋xvt'－x'vt－v²tt'）

公式（7）

边界条件之四：光速恒定不变。我们知道，光速以恒定数c传播。这个光速对观察者甲来说，是对他自己的时间和方位系统来说的；同样，对观察者乙来说，也是对他自己的时间和方位系统来说的。假如在高铁正离开车站时，烟花在车站燃放。这时对乙来说，在第T'秒顺着铁轨传播的烟花光端所到达的位置是：

X'＝cT'

公式（8）

同样，甲观察到这个烟花光端沿铁轨方向的位置是：

X＝cT

公式（9）

将公式（8）、公式（9）代入公式（7）解得：

将公式（10）代入公式（5）得：

将公式（10）、公式（11）代入公式（6）解得：

中学生：到现在，我们在上一节提出的问题已经得到圆满解决。太庆幸了。

我说：但还没完。将公式（11）、公式（12）的坐标转换拓展到三维如下图

如果烟花事件未发生在铁轨（x轴）上，显然有以下公式成立，即：

y'＝y

公式（13）

z'＝z

公式（14）

将公式按公式（11）、公式（13）、公式（14）、公式（12）的次序书写，跟爱因斯坦狭义相对论的洛伦兹变换公式完全一致。因此，洛伦兹变换适用于相对运动坐标变换，爱因斯坦的洛伦兹变换成立，在此基础上经过严密逻辑推演出的狭义相对论的结论成立。

中学生：洛伦兹变换的逆变换是什么样子呢？

答：我们在推导公式时，设定x、x'与运动方向一致，是从静止的S坐标系到运动的S'坐标系的转换关系，这里的所谓静止，是对所观察的事件而言的。如果是逆变换，就是已知动态坐标系S'的地点时间坐标值，求算静态坐标系S的地点时间坐标，根据相对性原理，公式（11）、公式（13）、公式（14）、公式（12）四个方程，仍然适用，但因为运动方向为坐标的负向，需要把四个公式中的速度v置换成负v，其他不变，其公式如下

x＝（x'＋vt'）/√（1－v²/c²）

公式（15）

y＝y'

公式（16）

z＝z'

公式（17）

t＝（t'＋v/c²x'）/√（1－v²/c²）

公式（18）

三、洛伦兹变换与光物伽利略变换、伽利略变换对比

问：洛伦兹变换既然符合实际，跟光物伽利略变换及伽利略变换是什么关系呢？

答：

①光物伽利略变换：

将公式（11）、公式（12）与公式（3）、公式（4）比较得：

α＝√[（c－v）/（c＋v）]

β＝v/c

②伽利略变换

公式（A）、公式（B）改造成洛伦兹变换，则需增加a，b两个系数和一个变量x‌。

x'＝a（x- vt）

t'＝at- bx

a＝1/√（1- v²/c²）

b＝v/c²/√（1- v²/c²）

可以看出：光物伽利略变换，如要修正错误，只需在适当位置乘以两个系数，而伽利略变换要修正错误，不仅需要在适当位置乘以系数，还需要增加变量。

我说：我们从结果上检验一下，洛伦兹变换、光物伽利略变换及伽利略变换在使用效果上的合理性。

中学生：好的。

假设一束激光从车站沿铁轨射出，在第t秒观察者甲看到的光端坐标位置x＝ct

这时对观察者乙来说，光端位置坐标为：（x'，t'）。观察者乙看到光的速度是x'/t'。

①对洛伦兹变换而言的速度

将公式（11）除以公式（12）得

x'/t'＝[（x－vt）/√（1－v²/c²）]/ [（t－vx/c²）/√（1－v²/c²）]

将x＝ct代入得

x'/t'＝c

看来洛伦兹变换，能保证观察者乙看到的光速是c。

②对光物伽利略变换而言的速度

将公式（1）除以公式（2）得

x'/t'＝（×－vt）/（t－x/c）

将x＝ct代入得

x'/t'＝（c－v）/（1一1） ＝∞

说明光物伽利略变换不能保证乙看到的光是光速。

③对伽利略变换而言的速度

将公式（A）除以公式（B）得

x'/t'＝（×－vt）/t

将x＝ct代入得

x'/t'＝c－v

说明伽利略变换也不能保证乙看到的光是光速。

④结论：只有洛伦兹变换才保证了观察者乙接收到速度为光速的光。

问：狭义相对论的钟慢与尺缩是由什么引起的？

答：

（1）关于尺缩

①洛伦兹变换的尺缩数据的取得

在这个高铁车厢，观察者乙带着一把1米的尺子。将尺子摆放得与铁轨顺向。在尺尾通过观察者甲的当下：

尺尾：x'＝0，t＝0，此时，x＝0

尺头：x'＝1，t＝0

将尺头两数据代入公式（11）解得：

x＝√（1－v²/c²）

则甲观测到车厢内尺子的长度为：

L（洛伦兹）＝x（尺头）－x（尺尾）＝√（1－v²/c²）

即，地面上的人观察到车厢里长度为1米的尺子的实际长度变为

这是明显小于1米的数。

说明洛伦兹变换有尺缩现象发生，并且高铁车速越快，尺缩得越厉害。

②光物伽利略变换的尺缩

将同样步骤用于光物伽利略变换公式（1），得：

L（光物伽利略）＝1－v/c

发现光物伽利略变换也有尺缩现象发生，高铁车速越快，尺缩得越厉害。

比较L（光物伽利略）、L（洛伦兹）大小，采用将两个长度分别取平方值然后相除的办法

[L（洛伦兹）]²/[L（光物伽利略）]²

＝（1－v²/c²）/（1－v/c）²

＝（c＋v）/（c－v）＞1

说明光物伽利略变换尺缩的幅度比实际（洛伦兹变换）还大，可谓缩得有点简单粗暴。

③伽利略变换的尺缩

将同样步骤用于伽利略变换公式（A），得：

L＝1

可见伽利略变换没有尺缩现象发生。

④结论：尺缩的根源在于计入了光传耗时，不计入光传耗时，即看不到尺缩发生。当计入了光传耗时，但忽略光速不变时，尺缩的幅度比实际（洛伦兹变换）的大。

（2）关于钟慢

①洛伦兹变换钟慢数据的取得

为了方便，还用上面的办法。乙随身带了一只怀表。在经过车站观察者甲的当下，怀表正好指到0点0分0秒。这时有：

x'＝0，t'＝0，x＝0，t＝0

当怀表响"咔"一声时

t'＝1，x＝vt

将以上两个数据代入公式（12）解得

公式（G）的物理意义是：车厢里的钟走了1秒，地面上的人观察到的它的时间是过了t秒。

从公式（G）可以看出，t大于1秒，车厢里的钟变慢了。

②光物伽利略变换

将与以上同样步骤用于公式（2），得：

t＝1

可见甲观察到车厢里的时间仍是1秒，没有改变。说明没有钟慢现象发生。

③伽利略变换的钟慢

将与以上同样步骤用于公式（B), 解得：

t＝1

可见甲观察到车厢里的时间仍是1秒，没有钟慢现象发生。

④结论：钟慢效应根源于光速不变。不计入光传耗时，或者计入光传耗时而忽略光速不变，均不会产生钟慢效应。

问：高铁车厢的乙如向前奔跑，为什么其相对于地面的速度不是车速与奔跑速度之和？

答：

①洛伦兹变换的速度叠加

采用一简捷的算法，对位置坐标求导数。

在任一时刻t，乙在车厢奔跑的速度为：

dx'/dt'＝（dx'/dt）/（dt'/dt ）公式（19）

分别将公式（11）、公式（12）代入得

dx'/dt' ＝（dx/dt－v）/[1－v/c²（dx/dt）]

如果乙在车厢的奔跑速度dx'/dt'＝u，乙相对于地面的速度dx/dt＝W，代入上式得：

u＝（W－v）/（1－∨/c²W）

解得：

可见，乙相对于地面的速度不是简单的车速与奔跑速度相加。

②光物伽利略变换的速度叠加

将公式（1）公式（2）代入公式（19）得：

dx'/dt' ＝（dx/dt－v）/[1－1/c（dx/dt）]

u＝（W－v）/（1－W/c）

W＝（ u＋v）/（1＋u/c） 公式（21）

看来，乙相对于地面的速度也不是简单的车速与奔跑速度相加。

③伽利略变换的速度叠加

将公式（A）、公式（B）代入公式（19）得：

dx'/dt' ＝（dx/dt－v）

W＝u＋v

乙相对于地面的速度是车速与奔跑速度相加。

④结论：不计入光传耗时时，乙相对于地面的速度是其在高铁车厢的奔跑速度与高铁运行速度之和；乙对地面的真实速度在两速度之和的基础上有所折减；计入光传耗时而忽略光速不变时，乙相对于地面的速度在两速度之和的基础上有较大幅度折减，折减幅度大于真实的（洛伦兹变换的）折减。可见，速度之和的折减，根源于光传耗时。

四、算例

我说：我们在高铁上观察到地面事件的发生方位与时间与我们忽略光传时间的认知，差别究竟有多大？看一个例子吧。比如，观察者乙所乘坐高铁的速度是360公里每小时，燃放烟花的事件是在高铁过站1000秒离开车站120公里的地方，光速按30万公里每秒计算，分别计算出观察者乙与观察者甲观察到的烟花事件的实际方位与时间，并与伽利略变换、光物伽利略变换比较。

答：

已知的数据为：

v=360/60/60=0.1公里/秒

c=300000公里/秒

x=120公里

t=1000秒

在计算时，必然涉及计算精度问题，精度低时，一些微小的变化我们就看不到了。我们以下的计算以目前手机上12位的计算器为工具。

（1）乙观察到的烟花事件离自己座位的距离

①实际（洛伦兹变换）距离

将数据代入公式（11）得

x'=20公里

②光物伽利略变换

将数据代入公式（1）得

x'=20.0000066667公里

③伽利略变换

将数据代入公式（A）得

x'=20公里

④甲观察到的离车站的距离

x=120公里

(2)乙观察到的烟花事件的时间

①实际（洛伦兹变换）时间

将数据代入公式（12）得

t'=1000秒

②光物伽利略变换

将数据代入公式（2）得

t'=999.999933333秒

③伽利略变换

将数据代入公式（B）得

t'=1000秒

④甲观察到烟花事件的时间

t=t-x/c

=999.999999667秒

看来，在每小时三四百公里速度的高铁上，对地面事件的观察判断，考虑光传时间与忽视光传时间，结果没有明显差别。

问：那么，在这种计算精度下，高铁速度大概达到多少才会出现乙实际观察到的烟花事件位置与忽略光传时间的数据有所不同？

答：试算的结果大概在3420公里每小时左右。

在其他情况不变时，将这个速度v=3420公里每小时代入，按以上步骤计算如下：

（1）乙观察到的烟花事件离自己座位的距离

①实际（洛伦兹变换）距离

将数据代入公式（11）得

x'=-830.000000004公里

②光物伽利略变换

将数据代入公式（1）得

x'=-830.002.628.342公里

③伽利略变换

将数据代入公式（A）得

x'=-830公里

④甲观察到的离车站的距离

x=120公里

(2)乙观察到的烟花事件的时间

①实际（洛伦兹变换）时间

将数据代入公式（12）得

t'=1000秒

②光物伽利略变换

将数据代入公式（2）得

t'=1000.00276668秒

③伽利略变换

将数据代入公式（B）得

t'=1000秒

④甲观察到的时间

t=t-x/c

=999.999999667秒

看来高铁速度即使提到3420公里每小时时，忽视光传时间，我们在车厢里对沿路事件方位与时间上的判断，也没有明显的失真。

虽然在我们日常生活、工作中，忽视光传时间和光速不变，没有什么影响，但我们心里必须清楚两者的存在，因为光传消耗时间，光速恒定不变才是真实。真实的点点滴滴不断沉淀于我们的大脑，智慧由此而生。我们破除了三层执念，光物特性了然于胸；知道了运动的相对，换位思考顺理而成；明白了站在问题之外看问题，跳出宇宙之外看世界，视野豁然开朗；理解了运动主体地位的平等，待人接物心态和平。好一个相对时空观！

很多时候，我们所谓的理解只是记住了而已，记得越多有时反而负担越重，因为记住了不叫理解。记住了，在我们头脑就形成了“知”，反复运用后这个“知”就变成了“识”，称之为知识。有了知识，自己和老师都认为学会了，因为应付考试没有问题。但是，这种死记硬背 反复运用的方法，徒然增加大脑的负担并扼杀创造力。看看某些追求升学率的教育，就明白了。因此，任何规律，任何真相，不管影响范围大小，如果没有从源头挖，从祖坟上刨，从本质上解，就做不到真知，相信也只是迷信，既产生不了智慧，又指导不了行动。所以，我们的学风就是要刨根问底！

五、问题探讨

中学生：比如我在运动会上投掷标枪，我奔跑的速度是v，标枪在出手时相对于我身体的速度是u，按照公式（20）计算，标枪出手的速度小于u＋v。尽管公式（20）这个结论，是我们在严密逻辑下推导出来的，可是我想，我又没有招惹光，光速为什么要藏在公式里折扣我的标枪速度？难道标枪在没有光线的晚上投掷跟阳光明媚的白天投掷，速度会有什么差别吗？

答：当然，投掷标枪，不管是发生在白天还是晚上，速度不会有差别，因为速度跟光照无关。速度叠加的计算公式公式（20），曾得到了斐索实验的实验验证，正确性毋庸置疑。因为u与v的数值跟光速30万公里每秒比较，实在是太小太小了 ，u与v两者相乘后除以光速的平方，几乎是零，也就是说几乎没有折减。所以，我们平时在直观上认为叠加之后的速度就是u与v之和，况且，这种算法也符合牛顿力学的法则。所以，有这种认识并不奇怪。

从公式（20）知，对于洛伦兹变换来说，人的奔跑速度v和标枪相对于人的速度u两者在公式中地位平等，两者速度越快折减越厉害，速度接近光速时，叠加速度接近光速。同时，从公式（21）知，对光物伽利略变换来说，标枪的出手速度也对u、v两个速度之和进行了折减，折减幅度比洛伦兹变换还要大，并且折减幅度仅取决于标枪相对于人的速度u，跟人奔跑速度v无关，u越大折减越厉害，接近光速时，标枪速度是两个速度之和的一半。而对伽利略变换来说，标枪的出手速度，就是u与v两个速度之和，如果试图通过增加u与v的速度而实现超越光速的目的，是可行的。所以，正是因为洛伦兹变换与光物伽利略变换均考虑了光传耗时的因素，使得试图用光速叠加的办法取得物体超越光速的速度，变得不可能。因此，公式（20）中有光速参与，其结果，体现了光速不可超越。

为什么公式中凭空出一个光速c？因为在这个世界，物性本然。所以，有学者认为，构成世界的基本粒子大概率来源于光子的活动。

中学生：我还是不理解光速不变。你说的燃放烟花的光传到高速行驶的高铁车厢，车厢里的乙看到的光的速度依然是c，是因为光子没有质量，没有惯性，传到运动的观察者乙眼睛的视网膜的光压，与传到车站静止的观察者甲眼睛视网膜的光压没有差别。我有点理解了。但如果说高铁列车尾灯的光，对车站观察者甲的速度也是c，我不理解。因为尾灯是高速运动的光源，甲收到的远离车站的高铁车灯的光的速度，为什么不是光的速度减去车速，甲又没有跟高铁车灯同向等速运动？

我说：先看这个例子。乙手里拿一个实心钢球，一个同样大小的鸡蛋，一个同样大小几乎无质量的乒乓球，假如从高速运行的高铁车厢伸出手（当然这是不被允许的，理想实验而已），同时放掉，会怎么样？

答：钢球会跟随高铁运动好大一段距离，然后落地；鸡蛋也会跟随高铁运动一段距离，然后落下摔碎；乒乓球，因气流作用瞬间飞向天空然后落下。

我说：比如说，当天没有风，手伸出的足够长，不扰动空气呢？

答：那钢球和鸡蛋的表现，就是前面说得那样。而乒乓球的表现会在原地落下，在水平方向上保持相对静止的运动状态。跟车厢运动速度无关。

我说：车灯的光子也就是这样，在水平方向上保持其固有的速度c的运动状态。而跟作为光源的车灯的运动速度无关。这个比喻虽不恰当，但有助于理解移动光源的光速不变问题。

问：光子是运动的吗？

答：我说的光子运动，只是一个形象比喻，不是真的运动了。

比如我们看到太阳，不是太阳发出的那个光子到达了我们眼睛。

光在本质上只是电磁波。波的传播只是运动方式的传播，不是物的传送。

比如，我们在平静水面上扔一个石头子，波纹从落点向四周扩散传到很远的地方，不是说落点的水分子，去到了那里，而是水分子按照一定规律上下波动的运动方式在传播，水波到达的地方，即是这种运动方式到达的地方。这种运动方式引起了当地的水分子也按这种规则谐振，这就是振动波或称机械波的传播。所以，我们把水称作水波的传播介质。

问：难道光的传播需要空气作为介质吗？

我说：光作为电磁波，它的传播不需要介质。科学家曾以为，太阳光传到地球，绝大部分的路程是真空，真空中有叫做"以太”的物质，后来证实没有这种“以太”存在。所以，光的传播不需要介质。传播的原理是这样的：

光源发出的光子，实际上是变化的电场，或变化的磁场。变化的电场引起前方与电场所在的平面垂直方向的平面产生变化磁场，这个变化磁场再引起前方与磁场所在的平面垂直方向的平面产生变化电场，然后一直重复下去，一环套一环，环环相扣，这便是电磁波的传播。因为电场、磁场的存在不需要介质，所以电磁波传播不需要介质。同时，电磁波传播只是电磁运动方式的传播，也不是光子这种实体的流动。

在这里，我们把一个电场与磁场的交替的完成过程，或者一个磁场与电场的交替的完成过程，看作一个光子。注意它并不是这个光子流动到下一个位置，而是在这个光子完成交替任务的当下，即灭失，灭失的同时相临的下一个光子产生。所以，每一个光子的存在都是一瞬间而已，都是庄子所说的“倏生倏灭”。

这个光子灭失下一个光子产生的当下，如果光源有新的光子补充过来，过后再有新的光子补充过来……，便形成一道光线。在这道光线的每一个位置，光子的存在状态都是庄子所说的“方生方死、方死方生”。

所以，在我们这种定义下，不能说光子是流动的，因为它没有流动。无法确定它是静止的，因为静止是在一个空间位置上的时间延续，它的存在不足一瞬间，没有时间延续；当然，也无法确定它在运动，因为在它存活的时间内找不到它的位置变化。然而，从无始以来，止到遥不可及的宇宙外太空，每一个光子的时空坐标都是独一无二的。换句话说，一个光子就是一个独立时空，是组成整个时空的基础单元。是光子定义了时空而不是时空定义了光子。

因为光子倏生倏灭，难以捕捉，现代物理学把从甲地传播到乙地的光子还当作甲地的那个光子研究，并把光子看成是运动的，是一种研究方法，或是迫于研究条件与手段的局限。

问：光速不变适用于不同的介质吗？

答：光在真空中的传播，速度是一个常数c。在空气中传播，跟空气的压力，湿度、温度等有关，所以速度的数值会有所折减，但变化不大。而在水中，玻璃中的传播速度变化较大。

我们在以上的高铁例子中，是在假设空气均匀，温度、湿度均等的情况下说的。这就是爱因斯坦说的均匀介质和各向同性。在这种介质中，光速不变的原理是适用的，当然，所说的光速是针对具体介质的光速。

光在不同介质中传播速度不同的原因，在于介质阻碍了光的传播。一般来说，当介质的组成粒子小于光的波长时影响就小，反之影响就大。这里说的粒子大小，不只是几何尺寸，而是有效影响范围。比如空气，湿度大温度低的区域，阻碍较大，由七色组成的阳光穿过时，因颜色不同（电磁波波长不同）传播速度产生差异，传播速度的差异就是折射率的差异，所以，我们有时看到七色彩虹。